在高中数学中，排列组合与二项式定理是概率、统计以及多项式展开等重要内容的基础。它们不仅在考试中占有重要地位，也在实际问题中有着广泛的应用。本文将系统梳理排列组合的基本概念、公式以及二项式定理的相关知识，并提供一些典型例题供练习。
一、排列与组合的基本概念
1. 排列（Permutation）
从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为排列。排列的顺序是有区别的。
- 公式：
$ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $
其中，n为总数，m为选取的数量，!表示阶乘。
示例：从5个不同的球中选出3个进行排列，共有多少种方式？
$$
P(5, 3) = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60
$$
2. 组合（Combination）
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。
- 公式：
$ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $
示例：从5个不同的球中选出3个不考虑顺序，共有多少种方法？
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = 10
$$
二、排列组合的常见应用
1. 排列问题：如座位安排、密码设置、数字排列等。
2. 组合问题：如选课、抽签、抽奖等。
注意：在实际问题中，要区分“是否考虑顺序”，从而选择排列或组合。
三、二项式定理（Binomial Theorem）
二项式定理用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式，其中n为非负整数。
1. 公式：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k
$$
其中，$ C(n, k) $ 是组合数，也写作 $\binom{n}{k}$。
2. 通项公式：
$$
T_{k+1} = C(n, k) a^{n-k} b^k
$$
示例：展开 $(x + y)^3$
$$
(x + y)^3 = C(3, 0)x^3y^0 + C(3, 1)x^2y^1 + C(3, 2)x^1y^2 + C(3, 3)x^0y^3
$$
$$
= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
$$
四、典型例题与练习
题目1：
从6个同学中选出3人组成一个小组，有多少种不同的选法？
解：
这是一个组合问题，使用公式 $ C(6, 3) $
$$
C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \cdot 6} = 20
$$
答：有20种不同的选法。
题目2：
求 $(2x - 3)^4$ 展开式中的第三项。
解：
根据通项公式，第三项对应 $k = 2$，即：
$$
T_3 = C(4, 2)(2x)^{4-2}(-3)^2 = 6 \cdot (2x)^2 \cdot 9 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9 = 216x^2
$$
答：第三项为 $216x^2$。
题目3：
用数字1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的三位数？
解：
这是排列问题，从4个数字中选3个进行排列：
$$
P(4, 3) = \frac{4!}{(4 - 3)!} = \frac{24}{1} = 24
$$
答：可以组成24个不同的三位数。
五、总结
排列组合与二项式定理是高中数学的重要组成部分，掌握其基本概念和公式是解决相关问题的关键。通过大量的练习，可以加深对这些内容的理解，并提高解题能力。
建议多做一些典型的排列组合题目和二项式展开练习，逐步提升逻辑思维和计算能力。
