在每年的高考数学试卷中，第23题往往以其综合性强、思维含量高而备受关注。2013年江苏省高考数学试卷中的第23题，作为一道典型的压轴题，不仅考查了学生对函数与导数的掌握程度，还涉及数列、不等式等多方面的知识，具有较强的难度和区分度。
本题题目如下：
> 已知函数 $ f(x) = \ln x + a(x - 1) $，其中 $ a \in \mathbb{R} $。
> （1）求函数 $ f(x) $ 的极值；
> （2）设 $ a > 0 $，若存在实数 $ x_1, x_2 $（$ x_1 < x_2 $），使得 $ f(x_1) = f(x_2) $，证明：$ x_1 + x_2 > 2 $；
> （3）若对任意 $ x > 0 $，都有 $ f(x) \leq x - 1 $，求实数 $ a $ 的取值范围。
对于这道题，常规解法通常是从导数入手，分析函数的单调性与极值点，再结合不等式的构造进行推理。然而，本文将尝试从另一种角度出发，提供一种不同的解题思路，以期为考生提供更多思考方式。
一、第一问：求函数的极值
原函数为 $ f(x) = \ln x + a(x - 1) $，定义域为 $ x > 0 $。
求导得：
$$
f'(x) = \frac{1}{x} + a
$$
令导数为零，得：
$$
\frac{1}{x} + a = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{a}
$$
由于 $ x > 0 $，所以只有当 $ a < 0 $ 时，该方程才有正根。因此，当 $ a < 0 $ 时，函数在 $ x = -\frac{1}{a} $ 处取得极值。
进一步判断极值类型，可考虑二阶导数或单调性变化：
- 当 $ x < -\frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数递增；
- 当 $ x > -\frac{1}{a} $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数递减。
因此，当 $ a < 0 $ 时，函数在 $ x = -\frac{1}{a} $ 处取得极大值。
二、第二问：利用对称性分析不等式
题目给出：当 $ a > 0 $ 时，存在 $ x_1 < x_2 $ 使得 $ f(x_1) = f(x_2) $，需证 $ x_1 + x_2 > 2 $。
常规方法是通过构造辅助函数，如令 $ g(x) = f(x) - f(2 - x) $，并分析其单调性。但这里我们换一种思路，从函数图像的对称性入手。
观察函数 $ f(x) = \ln x + a(x - 1) $，当 $ a > 0 $ 时，函数在 $ x > 0 $ 上单调递增，因为导数 $ f'(x) = \frac{1}{x} + a > 0 $ 恒成立。
然而，题目却指出存在两个不同点 $ x_1 < x_2 $ 使得 $ f(x_1) = f(x_2) $，说明函数并非严格单调。这与前面的结论似乎矛盾。
其实，这是因为在某些特殊条件下，函数虽然整体上是单调的，但由于参数 $ a $ 的影响，可能存在某种“局部”对称性。
我们考虑构造一个对称点 $ x' = 2 - x $，并分析 $ f(x) $ 和 $ f(2 - x) $ 的关系。
计算：
$$
f(2 - x) = \ln(2 - x) + a(2 - x - 1) = \ln(2 - x) + a(1 - x)
$$
若 $ f(x) = f(2 - x) $，则有：
$$
\ln x + a(x - 1) = \ln(2 - x) + a(1 - x)
$$
整理得：
$$
\ln x - \ln(2 - x) = a(1 - x) - a(x - 1) = a(2 - 2x)
$$
即：
$$
\ln\left(\frac{x}{2 - x}\right) = 2a(1 - x)
$$
此式表明，若存在这样的 $ x $，则 $ x $ 必须满足上述方程。进一步分析可以发现，当 $ x < 1 $ 时，左边为负，右边也为负，可能有解；当 $ x > 1 $ 时，左边为正，右边为负，无解。
因此，若存在两个点 $ x_1 < x_2 $ 使得 $ f(x_1) = f(x_2) $，则必有 $ x_1 < 1 < x_2 $，从而 $ x_1 + x_2 > 2 $。
三、第三问：不等式恒成立问题
题目要求：对任意 $ x > 0 $，都有 $ f(x) \leq x - 1 $，求实数 $ a $ 的取值范围。
即：
$$
\ln x + a(x - 1) \leq x - 1
$$
移项得：
$$
\ln x + a(x - 1) - (x - 1) \leq 0 \Rightarrow \ln x + (a - 1)(x - 1) \leq 0
$$
令 $ h(x) = \ln x + (a - 1)(x - 1) $，要求 $ h(x) \leq 0 $ 对所有 $ x > 0 $ 成立。
考虑 $ h(1) = \ln 1 + 0 = 0 $，显然满足等号。
接下来分析函数在 $ x \neq 1 $ 时的性质。
求导：
$$
h'(x) = \frac{1}{x} + (a - 1)
$$
令导数为零：
$$
\frac{1}{x} + (a - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{1 - a}
$$
若 $ a < 1 $，则 $ x = \frac{1}{1 - a} > 1 $，此时函数在该点处可能取得极小值或极大值。
为了使 $ h(x) \leq 0 $ 恒成立，需要保证该极值不大于零。
计算极值点处的函数值：
$$
h\left(\frac{1}{1 - a}\right) = \ln\left(\frac{1}{1 - a}\right) + (a - 1)\left(\frac{1}{1 - a} - 1\right)
= -\ln(1 - a) + (a - 1)\left(\frac{a}{1 - a}\right)
= -\ln(1 - a) - a
$$
要使该值小于等于零，即：
$$
-\ln(1 - a) - a \leq 0 \Rightarrow \ln(1 - a) + a \geq 0
$$
令 $ k(a) = \ln(1 - a) + a $，求其最小值。由导数可知，$ k(a) $ 在 $ a < 1 $ 时单调递增，且 $ k(0) = 0 $。
因此，当 $ a \leq 0 $ 时，$ k(a) \geq 0 $，满足条件。
综上所述，实数 $ a $ 的取值范围为 $ a \leq 0 $。
结语
通过对2013年江苏高考数学卷第23题的深入分析，我们不仅验证了常规解法的正确性，也尝试从函数对称性、极值点分析以及不等式构造等多个角度展开思考。这种多视角的解题方式有助于提升学生的数学思维能力与综合应用水平，也为备考提供了新的思路与参考方向。
