在高中数学的学习过程中，等差数列与等比数列是数列部分的重要内容，也是高考中常见的考点。为了帮助学生更好地掌握这两个基本数列的性质、公式及应用，特整理本篇“等差等比数列复习对照等差等比专项训练”教学资料，旨在通过系统复习与针对性练习，提升学生的解题能力与思维水平。
一、等差数列与等比数列的基本概念
1. 等差数列：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
- 公差：记作 $ d $，即 $ a_{n+1} - a_n = d $
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 求和公式：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 公比：记作 $ q $，即 $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q $
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
- 求和公式：当 $ q \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $
二、等差数列与等比数列的对比分析
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
|--------------|------------------------------|------------------------------|
| 定义 | 相邻两项之差为常数 | 相邻两项之比为常数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $| $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ |
| 增长趋势 | 线性增长 | 指数增长 |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时为常数列 | 当 $ q = 1 $ 时为常数列 |
三、典型例题解析
例题1：已知等差数列前三项为 3, 7, 11，求第10项及前10项和。
解析：
由题意得，首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 7 - 3 = 4 $
第10项：
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39
$$
前10项和：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5 \times 42 = 210
$$
例题2：已知等比数列中，$ a_1 = 2 $，$ a_3 = 8 $，求公比 $ q $ 及第5项。
解析：
由等比数列通项公式可得：
$$
a_3 = a_1 \cdot q^2 \Rightarrow 8 = 2 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 4 \Rightarrow q = \pm 2
$$
若 $ q = 2 $，则第五项为：
$$
a_5 = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32
$$
若 $ q = -2 $，则第五项为：
$$
a_5 = 2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot 16 = 32
$$
因此，无论 $ q $ 为正负，第五项均为 32。
四、专项训练题（附答案）
1. 已知等差数列中，$ a_5 = 12 $，$ a_8 = 18 $，求公差 $ d $ 和 $ a_1 $。
答案： $ d = 2 $，$ a_1 = 4 $
2. 等比数列中，$ a_2 = 6 $，$ a_5 = 48 $，求公比 $ q $。
答案： $ q = 2 $
3. 求等差数列 5, 8, 11, … 的前15项和。
答案： $ S_{15} = 360 $
4. 若等比数列中，$ a_1 = 3 $，$ q = \frac{1}{2} $，求前6项和。
答案： $ S_6 = \frac{189}{32} $
五、学习建议
1. 理解定义：掌握等差与等比数列的定义，明确其本质区别。
2. 熟练公式：熟记通项公式与求和公式，灵活运用。
3. 多做练习：通过大量练习题巩固知识，提高解题速度与准确率。
4. 注意特殊情形：如公比为1或-1的情况，以及无穷等比数列的收敛问题。
通过本篇“等差等比数列复习对照等差等比专项训练”资料，希望同学们能够系统回顾等差与等比数列的相关知识，强化基础，提升综合应用能力，为后续学习打下坚实基础。
