在微观经济学中，柯布-道格拉斯效用函数是一种非常重要的形式，广泛应用于消费者行为分析和成本效益研究中。这种效用函数通常表示为：

\[ U(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^\beta \]

其中 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 分别代表两种商品的数量，而 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是正的常数，且满足 \( \alpha + \beta = 1 \)。

为了研究消费者如何在给定预算下实现效用最大化，我们需要引入支出函数的概念。支出函数 \( e(p_1, p_2, u) \) 表示消费者在价格 \( p_1 \) 和 \( p_2 \)，以及目标效用水平 \( u \) 下，实现这一效用所需的最小支出。

根据柯布-道格拉斯效用函数的特点，其支出函数可以推导如下：

首先，设消费者的预算约束为：

\[ m = p_1x_1 + p_2x_2 \]

其中 \( m \) 是消费者的收入。为了找到最优消费组合，我们使用拉格朗日乘数法来解决约束优化问题。构造拉格朗日函数：

\[ \mathcal{L} = x_1^\alpha x_2^\beta + \lambda (m - p_1x_1 - p_2x_2) \]

对 \( x_1 \)、\( x_2 \) 和 \( \lambda \) 求偏导数，并令其等于零，得到一阶条件：

1. \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha x_1^{\alpha-1} x_2^\beta - \lambda p_1 = 0 \)

2. \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \beta x_1^\alpha x_2^{\beta-1} - \lambda p_2 = 0 \)

3. \( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = m - p_1x_1 - p_2x_2 = 0 \)

通过解这组方程，我们可以得到最优消费量 \( x_1^ \) 和 \( x_2^ \)。进一步代入预算约束，即可求得支出函数：

\[ e(p_1, p_2, u) = \left( \frac{u}{\alpha^\alpha \beta^\beta} \right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} (p_1^\alpha p_2^\beta)^{-1} \]

这个公式表明，支出与价格和目标效用水平之间存在明确的关系。值得注意的是，由于 \( \alpha + \beta = 1 \)，简化后可得：

\[ e(p_1, p_2, u) = \left( \frac{u}{\alpha^\alpha \beta^\beta} \right) p_1^{-\alpha} p_2^{-\beta} \]

此结果反映了柯布-道格拉斯效用函数特有的性质，即商品的需求弹性与其权重参数直接相关。此外，该模型还揭示了当一种商品的价格变化时，另一种商品的需求可能会受到影响的现象。

总之，柯布-道格拉斯效用函数的支出函数为我们提供了一个强有力的工具，用于评估不同价格体系下的消费者行为模式。它不仅有助于理解个体决策过程，也为政策制定者提供了理论依据，以便更好地设计税收或补贴政策以促进社会福利的最大化。