【数值计算原理部分试题】在数值分析与计算数学的学习过程中，掌握基本的数值计算原理是理解算法设计与实现的基础。以下是一些围绕“数值计算原理”所设计的典型试题，旨在帮助学生巩固相关知识点，并提升对数值方法的理解与应用能力。

一、选择题（每题2分，共10分）

1. 下列哪种误差是由计算过程中舍入操作引起的？

A. 模型误差

B. 截断误差

C. 舍入误差

D. 初始误差

2. 在牛顿迭代法中，若导数为零，则该方法会如何？

A. 收敛速度加快

B. 不收敛

C. 可能发散

D. 无法进行迭代

3. 数值积分中，梯形公式属于哪种类型的求积方法？

A. 显式方法

B. 隐式方法

C. 复合方法

D. 自适应方法

4. 下列哪一项不是高斯消去法的步骤？

A. 前向消元

B. 回代

C. 矩阵分解

D. 主元选取

5. 在解线性方程组时，矩阵的条件数越大，说明什么？

A. 方程组越稳定

B. 方程组越不稳定

C. 解的精度越高

D. 迭代次数越少

二、填空题（每空2分，共10分）

1. 在数值计算中，误差通常分为________、截断误差和舍入误差三类。

2. 若一个迭代过程满足 $ |g'(x^)| < 1 $，则该迭代法在 $ x^ $ 附近是________的。

3. 高斯-塞德尔迭代法相对于雅可比迭代法，在收敛速度上一般________。

4. 用龙贝格积分法计算定积分时，首先需要使用________法则进行初步估计。

5. 在数值微分中，中心差商的截断误差阶为________。

三、简答题（每题5分，共15分）

1. 简述数值计算中“稳定性”的概念，并举例说明其重要性。

2. 什么是插值多项式的龙格现象？它对实际计算有何影响？

3. 在解非线性方程时，为什么通常采用迭代法而不是直接求根公式？

四、计算题（共15分）

1. （7分）设函数 $ f(x) = \sin(x) $，使用泰勒展开式在 $ x=0 $ 处展开到三次项，写出其近似表达式，并估算 $ f(0.1) $ 的近似值。

2. （8分）使用高斯-塞德尔迭代法解下列线性方程组：

$$

\begin{cases}

4x + y - z = 5 \\

x + 5y + z = 6 \\

-x + y + 6z = 7

\end{cases}

$$

要求：给出迭代公式，并取初始向量 $ (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0) $，计算前两次迭代结果。

五、论述题（10分）

试从数值计算的角度出发，论述在工程或科学计算中，为何要重视算法的稳定性和收敛性。结合实例说明两者之间的关系及其对计算结果的影响。

参考答案略

本试卷旨在考察学生对数值计算基本理论的理解与应用能力，建议在学习过程中注重理论与实践相结合，提高对数值方法的综合运用水平。